Question

如果n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx則（1+2x）（1-x）ⁿ展開式中x²項的系數為

-2

．

Answer 1

分析：根據定積分的計算方法，計算n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx可得n的值，進而將n=4代入（1+2x）（1-x）ⁿ中，再分2種情況討論其展開式中產生x²項的情況，計算可得答案．

解答：解：根據題意，n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx=

8

π

∫₀^π（

1-cos2x

2

）dx=

8

π

×

1

2

（x-

sin2x

2

）|₀^π=4，
則（1+2x）（1-x）⁴中，x²項產生有2種情況，
①（1+2x）中出常數項，（1-x）⁴中出x²項，x²項的系數為1×C₄²（-1）²，
②（1+2x）與（1-x）⁴中，都出x項，x²項的系數為2×C₄³（-1），
則其展開式中x²的系數為1×C₄²（-1）²+2×C₄³（-1）=-2；
故答案為-2．

點評：本題考查二項式定理的應用以及定積分的計算，關鍵是由定積分的計算得到n的值．