Question

已知某個四面體的棱長均為a，
（1）求該四面體外接球的體積；
（2）求該四面體內切球的體積．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由正四面體的棱長為a，所以此四面體一定可以放在棱長為

2

2

a的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入面積公式、體積公式計算．
（2）設正四面體的內切球的半徑為r，求得正四面體的每個面的面積S的值，正四面體的高h，用等體積法求出四面體內切球的半徑，可得四面體內切球的體積．

解答： 解：（1）：∵正四面體的棱長為a，
∴此四面體一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此四面體．
如圖所示，四面體ABCD滿足題意，BC=a，
∴正方體的棱長為

2

2

a，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑=正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=

1

2

•

1 2 + 1 2 + 1 2

=

6

4

a，
所以，球的體積為

4

3

π•a³=

6

8

πa³．
（2）設正四面體的內切球的半徑為r，由于正四面體的每個面的面積為S=

1

2

•a•a•sin60°=

3

4

a²，
正四面體的高為h=

a2-[ 2 3 • 3 2 a]2

=

6

3

a，
故正四面體的體積為V=

1

3

Sh=

2

12

a³．
再根據V=4[

1

3

sr]=4×[

1

3

•

3

4

a²•r]，可得

2

12

a³=4×[

1

3

•

3

4

a²•r]，求得r=

6

12

a，
故四面體內切球的體積V′=

4

3

π•r³=

6

216

π•a³．

點評：本題考查幾何體的接體問題，考查了空間想象能力，其解答的關鍵是根據幾何體的結構特征，求出接體幾何元素的數據，代入面積、體積公式分別求解．