Question

已知函數f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x（a＜0）．
（Ⅰ）若函數f（x）在定義域內單調遞增，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若a=-

1

2

，且關于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）設各項為正數的數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導數大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）將a的值代入整理成方程的形式，然后轉化為函數考慮其圖象與x軸的交點的問題．
（3）設h（x）=lnx-x+1然后求導，可判斷函數h（x）的單調性，再由數學歸納法得證．

解答：解：（I）f'（x）=-

ax2+2x-1

x

（x＞0）
依題意f'（x）≥0在x＞0時恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
則a≤

1-2x

x2

=(

1

x

-1)2-1在x＞0恒成立，
即a≤((

1

x

-1)2-1)min（x＞0）
當x=1時，(

1

x

-1)2-1取最小值-1
∴a的取值范圍是（-∞，-1]．

（II）a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x+b∴

1

4

x2-

3

2

x+lnx-b=0
設g（x）=

1

4

x2-

3

2

x+lnx-b(x＞0)則g'（x）=

(x-2)(x-1)

2x

列表：

∴g（x）極小值=g（2）=ln2-b-2，g（x）極大值=g（1）=-b-

5

4

，
又g（4）=2ln2-b-2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根．
則

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，得ln2-2＜b≤-

5

4

．

（III）設h（x）=lnx-x+1，x∈[1，+∞），則h'（x）=

1

x

-1≤0
∴h（x）在[1，+∞）為減函數，且h（x）_max=h（1）=0，故當x≥1時有lnx≤x-1．
∵a₁=1
假設a_k≥1（k∈N^*），則a_k+1=lna_k+a_k+2＞1，故a_n≥1（n∈N^*）
從而a_n+1=lna_n+a_n+2≤2a_n+1∴1+a_n+1≤2（1+a_n）≤…≤2ⁿ（1+a₁）
即1+a_n≤2ⁿ，∴an≤2ⁿ-1

點評：本題主要考查函數單調性與其導函數正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．