Question

由以下條件分別給出數列{a_n}：
（1）{3 an}是等比數列；（2）前n項和S_n=n²+2；
（3）a₁＞0，且a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）（k≥2）；（4）2a_n+1=a_n+a_n-1（n≥2）；
以上能使{a_n}成等差數列的條件的序號是

（1），（3）

．

Answer 1

分析：根據題意，依次分析所給的條件，對于（1），若{3 an}是等比數列，設其公比為q，利用等比數列的定義可得a_n-a_n-1=log₃q，則數列{a_n}為等差數列；對于（2），由其前n項和S_n=n²+2，求出數列{a_n}的前3項，即可得數列{a_n}不是等差數列；對于（3），對a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）變形可得（k-1）a_k=2S_k-1①，進而可得，（k-2）a_k-1=2S_k-2②，①-②可得，（k-1）a_k=ka_k-1，分析可得其符合等差數列的定義，則數列{a_n}為等差數列；對于（4），由2a_n+1=a_n+a_n-1可得a_n+1-a_n=a_n-1-a_n+1，分析可得其不符合等差數列的定義，則數列{a_n}不是等差數列；

解答：解：根據題意，
對于（1），若{3 an}是等比數列，設其公比為q，則有

3an

3an-1

=3an-an-1=q＞0，則a_n-a_n-1=log₃q，則數列{a_n}為等差數列；
對于（2），由其前n項和S_n=n²+2，可得a₁=3，a₂=S₂-S₁=3，a₃=S₃-S₂=5，不符合等差數列的定義，則數列{a_n}不是等差數列；
對于（3），a_k=

2

k-1

（a₁+a₂+…+a_k-1）⇒（k-1）a_k=2S_k-1①，令k-1=k可得，（k-2）a_k-1=2S_k-2②，①-②整理可得，（k-1）a_k=ka_k-1，即

ak

k

=

ak-1

k-1

，
設

ak

k

=

ak-1

k-1

=m，變形可得a_n-a_n-1=m，符合等差數列的定義，則數列{a_n}為等差數列；
對于（4），由2a_n+1=a_n+a_n-1可得a_n+1-a_n=a_n-1-a_n+1，不符合等差數列的定義，則數列{a_n}不是等差數列；
故答案為（1）（3）．

點評：本題考查等差數列的確定，常見的方法有定義法、通項公式發、等差中項法等．