Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，在（-∞，0）上有xf′（x）+f（x）＜0且f（-2）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為

 

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Answer 1

分析：由題意構造函數g（x）=xf （x），再由導函數的符號判斷出函數g（x）的單調性，由函數f（x）的奇偶性得到函數g（x）的奇偶性，由f（-2）=0得g（2）=0、還有g（0）=0，再通過奇偶性進行轉化，利用單調性求出不等式得解集．

解答：解：設g（x）=xf（x），
則g′（x）=[xf（x）]′=x′f（x）+xf′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函數g（x）在區間（-∞，0）上是減函數，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴g（x）=xf（x）是R上的偶函數，
∴函數g（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
∵f（-2）=0，
∴f（2）=0；
即g（2）=0且g（0）=0f（0）=0，
∴xf（x）＜0化為g（x）＜0，
∵對于偶函數g（x），有g（-x）=g（x）=g（|x|），
故不等式為g（|x|）＜g（2），
∵函數g（x）在區間（0，+∞）上是增函數，
∴|x|＜2且x≠0，解得-2＜x＜2且x≠0，
故所求的解集為{x|-2＜x＜2且x≠0}．
故答案為：{x|-2＜x＜2且x≠0}．

點評：本題考查了由條件構造函數和用導函數的符號判斷函數的單調性，利用函數的單調性和奇偶性的關系對不等式進行轉化，注意函數值為零的自變量的取值．