Question

（1）已知sin(

π

4

-x)=

5

13

，且0＜x＜

π

4

，求

cos2x

cos( π 4 +x)

的值．
（2）已知tan(α-β)=

1

2

，tanβ=-

1

7

，且α，β∈（0，π），求2α-β的值．

Answer 1

分析：（1）通過

π

4

+x=

π

2

-(

π

4

-x)，求出cos(

π

4

+x)，利用同角三角函數的基本關系式求出cos(

π

4

-x)，通過二倍角公式q求出cos2x，即可求出

cos2x

cos( π 4 +x)

的值．
（2）通過已知條件，利用二倍角的正切公式求出tan2（α-β），結合tan（2α-β）=tan[2（α-β）+β]，利用兩角和的正切公式，求出tanβ，三角函數的值推出角的范圍，求出結果．

解答：解：（1）cos(

π

4

+x)=cos[

π

2

-(

π

4

-x)]=sin(

π

4

-x)=

5

13

，
∵0＜x＜

π

4

∴0＜

π

4

-x＜

π

4

∴cos(

π

4

-x)=

1-sin2( π 4 -x)

=

12

13

 
∴cos2x=sin(

π

2

-2x)=sin2(

π

4

-x)=

120

169

原式=

120 169

5 13

=

24

13

（2）∵tan(α-β)=

1

2

∴tan2(α-β)=

2tan(α-β)

1-tan2(α-β)

=

4

3

∴tan（2α-β）=tan[2（α-β）+β]=

tan2(α-β)+tanβ

1-tan2(α-β)tanβ

=1
因為tanβ=-

1

7

，而β∈（0，π）
∴

π

2

＜β＜π，
tan(α-β)=

1

2

=

tanα+ 1 7

1- 1 7 tanα

，
解得tanα=

1

3

，α∈（0，π），
∴0＜α＜

π

4

，
∴-π＜2α-β＜0
∴2α-β=-

3π

4

點評：本題是中檔題，考查三角函數的基本知識，公式的靈活運用，注意角的范圍的判斷，角的變換的技巧，角的大小的值的求法，是解題的關鍵．