Question

對于實數(shù)a，b，定義運(yùn)算“*”：a*b=

a2-ab，a＜b b2-ab，a＞b

，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根x₁，x₂，x₃，則m的取值范圍是

(0，

1

4

)

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意確定函數(shù)的解析式為  f（x）=

x2-x ， x≤0 -x2+x ＞0

，畫出函數(shù)的圖象從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時m的取值范圍．

解答：解：由 2x-1≤x-1 可得 x≤0，由 2x-1＞x-1 可得 x＞0．
∴根據(jù)題意得f（x）=

(2x-1)2-(2x-1)(x-1) ， x≤0 (x-1)2-(2x-1)(x-1) ，x＞0

．
即 f（x）=

x2-x ， x≤0 -x2+x ＞0

，
畫出函數(shù)的圖象，從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，
函數(shù)的圖象和直線y=m有三個不同的交點．
再根據(jù)函數(shù)的極大值為f（

1

2

）=

1

4

，
可得m的取值范圍是（0，

1

4

 ），
故答案為 （0，

1

4

）．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．