Question

如圖，已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分別是AB、PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PEC；
（2）設CD的中點為H，求證：平面EFH∥平面PBC；
（3）求AC與平面PCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）取PC中點M，連接FM，EM，根據線面平行的判定定理只需證明AF∥EM；
（2）根據面面平行的判定定理只需證明EH∥平面PBC，FH∥平面PBC，進而轉化為證明EH∥BC，FH∥PC即可；
（3）先證明AF⊥平面PCD，連接FC，則∠ACF即為AC與平面PCD所成的角，在RT△ACF中，可求∠ACF的正弦值．

解答：解：（1）取PC中點M，連接FM，EM，
∵F、M分別為PD、PC的中點，∴FM∥DC，FM=

1

2

DC，
又E為AB的中點，∴AE∥DC，AE=

1

2

DC，
∴AE∥FM，AE=FM，∴四邊形AFME為平行四邊形，
∴AF∥ME，又AF?平面PEC，ME?平面PEC，
∴AF∥平面PEC．
（2）∵H為CD的中點，∴EH∥BC，又EH?平面PBC，BC?平面PBC，∴EH∥平面PBC．
∵F、H分別為PD、CD的中點，∴FH∥PC，又FH?平面PBC，PC?平面PBC，∴FH∥平面PBC．
又FH∩EH=H，FH?平面EFH，EH?平面EFH，
∴平面EFH∥平面PBC．
（3）∵PA=AD=1，F為PD的中點，∴AF⊥PD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
AF?平面PAD，∴CD⊥AF，又PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
連接FC，則∠ACF即為AC與平面PCD所成的角．
在等腰RT△PAD中，AF=

2

2

，在矩形ABCD中，AC=

22+12

=

5

，
∴在RT△AFC中，sin∠ACF=

AF

AC

=

2 2

5

=

10

10

．
∴AC與平面PCD所成的角的正弦值為

10

10

．

點評：本題考查線面平行、面面平行的判定及線面角的求解，考查學生的推理論證能力，解題關鍵是熟練掌握相關的定義、定理．