Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2-a_n，知S₁=2-a₁，a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1），得an=

1

2

an-1，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且an=(

1

2

)n-1，知b_n-1-b_n=（

1

2

）^n-1，由此利用疊加法能求出bn=3-

1

2n-2

．

解答：解：（1）∵S_n=2-a_n，∴當n=1時，S₁=2-a₁，∴a₁=1，
當n≥2時，S_n-1=2-a_n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（2-a_n）-（2-a_n-1），得an=

1

2

an-1，
∴數列{a_n}是以a₁=1為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴數列{a_n}的通項公式是an=(

1

2

)n-1．
（2）由b_n+1=b_n+a_n，且an=(

1

2

)n-1，
∴b_n-1-b_n=（

1

2

）^n-1，
則b2-b1=(

1

2

)0，b3-b2=(

1

2

)1，b4-b3=(

1

2

)2，…，b_n-b_n-1=（

1

2

）^n-2，
以上n個等式疊加得：
bn-b1=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-2
=

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=2[1-（

1

2

）^n-1]
=2-

1

2n-2

，
∵b₁=1，∴bn=3-

1

2n-2

．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意迭代法和疊加法的合理運用．