Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，函數f（x）=

1

2

px2一（p+q）x+qlnx（其中p，q均為常數，且p＞q＞0），當x=a₁時，函數f（x）取得極小值，點（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函數y=2px²-

q

x

+f'（x）+q的圖象上．（其中f'（x）是函數f（x）的導函數）
（1）求a₁的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）記b_n=

4Sn

n+3

•qn，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）進行求導，令其導數為0求得x，進而根據x變化時f'（x）和f（x）的變化情況確定函數f（x）的極小值，求得a₁；
（2）依題意可知點（a_n，2s_n）代入解析式，再由a₁的值求出p，求得2S_n=2a_n²+a_n-1，進而利用a_n=s_n-s_n-1，求得數列的遞推式，整理求得a_n-a_n-1-

1

2

=0，推斷出數列為等差數列，利用等差數列通項公式求得a_n；
（3）根據題意和（2）結論求出S_n，再求出b_n，根據特點利用錯位相減法求出數列{b_n}的前n項和T_n，需要說明q≠1．

解答：解：（1）由題意得，函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=px-（p+q）+

q

x

=

px2-(p+q)x+q

x

=

(x-1)(px-q)

x

令f′（x）=0，得x=1或x=

q

p

，
∵p＞q＞0，∴0＜

q

p

＜1，
當x變化時，f'（x）和f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）處取得極小值，即a₁=1．
（2）依題意，y=2px2-

q

x

+f′(x)+q=2px²+px-p，
∵點（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函數y=2px2-

q

x

+f′(x)+q圖象上，
∴2S_n=2p•a_n²+p•a_n-p，
則2a₁=2pa₁²+pa₁-p，由a₁=1求得p=1
∴2S_n=2a_n²+a_n-1
當n≥2時，2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1
兩式相減求得（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-

1

2

）=0，
∵a_n+a_n+1＞0，∴a_n-a_n-1-

1

2

=0
∴數列{a_n}是以1為首項，

1

2

為公差的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

，
 （3）由（2）得，2S_n=2a_n²+a_n-1=2×(

n+1

2

)2+

n+1

2

-1，
解得Sn=

n2+3n

4

，∴b_n=

4Sn

n+3

•qn=nqⁿ，
則T_n=1×q¹+2×q²+…+n•qⁿ③
又qT_n=1×q²+2×q³+…+（n-1）•qⁿ+n•qⁿ⁺¹ ④
∵p＞q＞0，且由（2）知p=1，∴q≠1，
③-④得，（1-q）T_n=q¹+q²+q³+…+qⁿ-n•qⁿ⁺¹=

q(1-qn)

1-q

-n•qn+1
∴T_n=

q(1-qn)

(1-q)2

-

nqn+1

1-q

．

點評：本題考查了數列與函數的綜合，涉及了函數的導數求極值，數列前n項和與數列通項公式的關系，以及錯位相減法求數列的前n項和，考查分析解決問題的能力和運算能力．