Question

已知函數f₁（x）為正比例函數，f₂（x）為反比例函數，點P（1，2）為它們的交點．
（1）求f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）若g（x）=f₁（x）-f₂（x），當x∈[2，3]時求g（x）的最值；
（3）若h（x）=f₁（x）+f₂（x），當x∈[2，3]時求h（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根據函數類型設出函數的解析式，然后根據點P（1，2）為它們的交點，則交點適合方程，從而求出所求；
（2）根據x∈[2，3]時，2x為增函數，

2

x

為減函數可知g（x）=2x-

2

x

在[2，3]上單調性，從而求出函數的最值；
（3）先判定函數h（x）在[2，3]上的導數符號，從而求出函數在[2，3]上的單調性，即可求出所求．

解答：解（1）∵函數f₁（x）為正比例函數，f₂（x）為反比例函數，
∴設f₁（x）=mx，f₂（x）=

n

x

而點P（1，2）為它們的交點
∴f₁（1）=m=2，f₂（1）=n=2
則.f1(x)=2x、f2(x)=

2

x

------------------------------------（4分）；
（2）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=2x-

2

x

x∈[2，3]時，2x為增函數，

2

x

為減函數
∴g（x）=f₁（x）-f₂（x）=2x-

2

x

在[2，3]上單調遞增
∴g（x）的最小值為g（2）=3，最大值為g（3）=

16

3

--------------------------------------（8分）
（3）若h（x）=f₁（x）+f₂（x）=2x+

2

x

h'（x）=2-

2

x2

，當x∈[2，3]時h'（x）＞0
∴h（x）在[2，3]上單調遞增
∴h（x）的最小值為h（2）=5，最大值為h（3）=

20

3

------------------------（12分）

點評：本題主要考查了函數單調性的判斷與證明，以及函數解析式和值域，屬于中檔題．