Question

如圖，平面EAD⊥平面ABFD，△AED為正三角形，四邊形ABFD為直角梯形，且∠BAD=90°，AB∥DF，AD=a，AB=a，DF=． 
（I）求證：EF⊥FB；
（II）求直線EB和平面ABFD所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（I）過點E向AD引垂線交AD于點O，根據△AED為正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD可得EO⊥平面ABFD；先連接OF，求出OF，BF，OB的平方，得到OF⊥FB；再結合EO⊥FB，證得FB⊥平面EOF即可得到EF⊥FB；
（II）根據（I）得EO⊥平面ABFD，可得直線EB和平面ABCD所成的角為∠EBO．再RT△EOB中求出任意兩邊長即可求直線EB和平面ABFD所成的角．
解答：解：（I）過點E向AD引垂線交AD于點O，根據△AED為正三角形以及平面EAD⊥平面ABFD
可得EO⊥平面ABFD
連接OF，則，，，
所以OB²=OF²+FB²，即OF⊥FB．  ①
又因為EO⊥平面ABFD
所以EO⊥FB，②
所以FB⊥平面EOF，得EF⊥FB．（5分）
（II）由（I）得，EO⊥平面ABFD，
則直線EB和平面ABCD所成的角為∠EBO．
因為，，得，
所以，即．（10分）
點評：本題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力、推理論證能力．