Question

若A_n和B_n分別表示數列{a_n}和{b_n}前n項的和，對任意正整數n，a_n=－，4B_n－12A_n=13n.

（1）求數列{b_n}的通項公式；

（2）設有拋物線列C₁，C₂，…，C_n，…拋物線C_n（n∈N^*）的對稱軸平行于y軸，頂點為（a_n，b_n），且通過點D_n（0，n²+1），求點D_n且與拋物線C_n相切的直線斜率為k_n，求極限.

（3）設集合X={x|x=2a_n，n∈N^*}，Y={y|y=4b_n，n∈N^*}.若等差數列{C_n}的任一項C_n∈X∩Y，C₁是X∩Y中的最大數，且－265<C₁₀<－125.求{C_n}的通項公式.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵a1=－，an－an－1=－ ∴數列{an}是以－為首項，－1為公差的等差數列. ∴An= 由4Bn－12An=13n，得Bn= ∴bn=Bn－Bn－1=－ （2）設拋物線Cn的方程為y=a（x+）2－ 即y=x2+（2n+3）x+n2+1 ∵y′=2x+（2n+3），∴Dn處切線斜率kn=2n+3. ∴ （3）對任意n∈N*，2an=－2n－3，4bn=－12n－5=－2（6n+1）－3∈X ∴yX，故可得X∩Y=Y. ∵c1是X∩Y中最大的數，∴c1=－17 設等差數列{cn}的公差為d，則c10=－17+9d ∵－265<－17+9d<－125得－27<d<－12 而{4bn}是一個以－12為公差的等差數列. ∴d=－12m（m∈N*），∴d=－24 ∴cn=7－24n（n∈N*）