Question

已知集合，若集合，且對任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底.
（Ⅰ）分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由；
①，；
②，.
（Ⅱ）若集合是集合的一個元基底，證明：；
（Ⅲ）若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當取最小值時的一個基底.

Answer 1

解：（Ⅰ）①不是的一個二元基底.
理由是 ；
②是的一個二元基底.
理由是 ，
.               3分
（Ⅱ）不妨設，則
形如的正整數共有個；
形如的正整數共有個；
形如的正整數至多有個；
形如的正整數至多有個.
又集合含個不同的正整數，為集合的一個元基底.
故，即.               8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.
當時，，即用基底中元素表示出的數最多重復一個. *
假設為的一個4元基底，
不妨設，則.
當時，有，這時或.
如果，則由，與結論*矛盾.
如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.
當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.
當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.
當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當時，均不可能是的4元基底.
當時，的一個基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個即可.
綜上，的最小可能值為5.                         14分

略