Question

定義在R上的奇函數f（x），當x∈（0，1）時，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求函數f（x）在（-1，1）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在（-1，0）上的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）定義在R上的奇函數f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時f（x）的解析式，x=-1和1時，同時結合奇偶性和單調性求解．
（2）先說明f（x）在（0，1）上單調遞減．再利用定義證明單調性．

解答：解：（1）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．
∴在區間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1    x∈(0，1) - 2x 4x+1     x∈(-1，0) 0               x∈{-1，0，1}

（2）f（x）在（0，1）上單調遞減．
證明當x∈（-1，0）時，f（x）=

2x

4x+1

，設-1＜x₁＜x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜0，，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，1）上單調遞減．

點評：本題考查奇偶性、函數單調性的判斷與證明的綜合應用．本題也可采用導數法來證明函數單調性，其對應關系是若導數在某個區間上函數值恒大于等于0，則這個區間是這個函數的增區間，若數在某個區間上函數值恒小于等于0，則這個區間是這個函數的減區間．