Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，可引起感冒以及中東呼吸綜合征（MERS）和嚴重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中感染可導(dǎo)致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗次.

方式二：混合檢驗，將其中份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若不是陽性，檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗，此時這份血液的檢驗次數(shù)總共為.

假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為.現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.

（1）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若與干擾素計量相關(guān)，其中是不同的正實數(shù)，滿足且都有成立.

（ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（ⅱ）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求的最大值.

（，）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）的最大值為4.

【解析】

（1）由隨機變量的概率公式和數(shù)學(xué)期望，計算可得所求函數(shù)的解析式；

（2）（ⅰ）當時可得，當時，可得，兩式作差可得即可得證；

（ⅱ）運用（ⅰ）的結(jié)論和構(gòu)造函數(shù)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，計算可得所求最大值.

解：（1）由已知可得，的所有取值為1，，，，

，

由，可得，即，即，即，

可得，，；

（2）（ⅰ）證明：當時，，即，由，得，

因為當時，，

所以，

兩式相減得，

則，可得，因為，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且；

（ⅱ）由（ⅰ）可知，，可得，即，所以，設(shè)，，，當時，，遞減，又，，則；

，，則，可得的最大值為4.