Question

【題目】如果對一切正實數，，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

將不等式cos2x≥asinx恒成立轉化為asinx+1﹣sin2x恒成立，構造函數f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是問題轉化為asinx﹣sin2x≤2恒成立．通過對sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三類討論，可求得對應情況下的實數a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．

解：實數x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立asinx+1﹣sin2x恒成立，

令f（y），

則asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，

∵y＞0，f（y）23（當且僅當y＝6時取“＝”），f（y）min＝3；

所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．

①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，則0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），則a≤g（t）min．

由于g′（t）＝10，

所以，g（t）＝t在區間（0，1]上單調遞減，

因此，g（t）min＝g（1）＝3，

所以a≤3；

②若sinx＜0，則a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；

③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；

綜合①②③，﹣3≤a≤3．

故選：D．