Question

【題目】設f（x）是定義在R上的函數，對任意實數m，n，都有f（m）f（n）=f（m+n），且當x＜0時，0＜f（x）＜1．
（1）證明：①f（0）=1；②當x＞0時，f（x）＞1；③f（x）是R上的增函數；
（2）設a∈R，試解關于x的不等式f（x2﹣3ax+1）f（﹣3x+6a+1）≤1．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①在f（m）f（n）=f（m+n）中，令m=n=0，

得f（0）f（0）=f（0+0）即f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或1，

若f（0）=0，則當x＞0時，有f（x）f（0）=f（x）=0與題設矛盾，

∴f（0）=1；

②當x＞0時，﹣x＜0，由已知得0＜f（﹣x）＜1，

又f（0）=f[x+（﹣x）]=f（x）f（﹣x）=1，0＜f（﹣x）＜1，∴ ，

即x＞0時，f（x）＞1；

③任取x1＜x2，由①②及已知條件知x∈R時，f（x）＞0，

則 ，∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞1，又因為f（x1）＞0，

∴f（x2）＞f（x1），

∴y=f（x）在定義域R上為增函數

（2）解：f（x2﹣3ax+1）f（﹣3x+6a+1）=f（x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1）=f[x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）]，

又f（0）=1，f（x）在R上單調遞增，

∴原不等式等價于x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0，

不等式可化為（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，

∴當2＜3a+1，即 時，2≤x≤3a+1；

當2=3a+1，即 時，x=2；

當2＞3a+1，即 時，3a+1≤x≤2

【解析】（1）①利用賦值法，轉化求解即可．②判斷函數的范圍，通過f（0）=f[x+（﹣x）]轉化求解證明即可．③利用函數的單調性的定義證明即可．（2）利用已知條件化簡表達式，利用函數的單調性，推出不等式，然后求解不等式的解集．