Question

(本小題滿分14分)
如圖，在中，，以、為焦點的橢圓恰好過的中點。

（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右頂點作直線與圓     相交于、兩點，試探究點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧嗎？若能，求出直線的方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

解：（1）∵∴
………2分
∴∴……4分
依橢圓的定義有：
∴，…………………………………………………………………………6分
又，∴………………………………………………………7分
∴橢圓的標準方程為……………………………………………8分
（求出點p的坐標后，直接設橢圓的標準方程，將P點的坐標代入即可求出橢圓方程，
也可以給滿分。）
(2)橢圓的右頂點，圓圓心為，半徑。
假設點、能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，
則，圓心到直線的距離………………10分
當直線斜率不存在時，的方程為，
此時圓心到直線的距離（符合）……………………………11分
當直線斜率存在時，設的方程為，即，
∴圓心到直線的距離，無解……………………………13分
綜上：點M、N能將圓分割成弧長比值為的兩段弧，此時方程為…14分。

解析