Question

已知函數

（1）求的最小值；

（2）設，．

（ⅰ）證明：當時，的圖象與的圖象有唯一的公共點；

（ⅱ）若當時，的圖象恒在的圖象的上方，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）0；（2）（ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）先求的導數，利用求出的單調區間，從而判斷出函數在何處取得最小值以及最小值是多少.（2）（ⅰ）當時，的圖象與的圖象交點的個數等于函數的零點的個數；可利用導數探究函數的單調性，作函數有一零的證據之一；（ⅱ）當時，的圖象恒在的圖象上方，等價于在上恒成立，利用的導數研究其單調性，注意參變量，對函數單調性及最值的影響，適時進行分類討論.

試題解析：（1）求導數，得f ′(x)＝ex－1．

令f ′(x)＝0，解得x＝0．

當x＜0時，f ′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數；

當x＞0時，f ′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

故f(x)在x＝0處取得最小值f(0)＝0． 4分

（2）設h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－ax2，則h′(x)＝ex－1－2ax．[

（ⅰ）當a＝時，y＝ex－1－x的圖象與y＝ax2的圖象公共點的個數等于

h(x)＝ex－1－x－x2零點的個數．

∵h(0)＝1－1＝0，∴h(x)存在零點x＝0．

由（1），知ex≥1＋x，∴h′(x)＝ex－1－x≥0，

∴h(x)在R上是增函數，∴h(x)在R上有唯一的零點．

故當a＝時，y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有唯一的公共點． 9分

（ⅱ）當x＞0時，y＝f(x)的圖象恒在y＝g(x)的圖象的上方

?當x＞0時，f(x)＞g(x)，即h(x)＝ex－1－x－ax2＞0恒成立．

由（1），知ex≥1＋x（當且僅當x＝0時等號成立），

故當x＞0時，ex＞1＋x．

h′(x)＝ex－1－2ax＞1＋x－1－2ax＝(1－2a)x，

從而當1－2a≥0，即a≤時，h′(x)≥0（x＞0），

∴h(x)在(0，＋∞)上是增函數，又h(0)＝0，

于是當x＞0時，h(x)＞0．

由ex＞1＋x（x≠0），可得e－x＞1－x（x≠0），

從而當a＞時，h′(x)＝ex－1－2ax＜ex－1＋2a(e－x－1)＝e－x(ex－1)(ex－2a)，

故當x∈(0，ln2a)時，h′(x)＜0，

此時h(x)在(0，ln2a)上是減函數，又h(0)＝0，

于是當x∈(0，ln2a)時，h(x)＜0．

綜上可知，實數a的取值范圍為(－∞，]． 14分

考點：1導數在研究函數性質中的應用；2、分類討論與等價轉化的思想.