Question

函數y=f（x）是區間（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）=2x²-

1

x

+1．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）求函數y=f（x）在[-2，-

1

2

]的值域；
（3）設函數g（x）=f（x）+1在區間[-3，-1]∪[1，3]的最大值M，最小值N，求M+N的值．

Answer 1

分析：（1）要求函數的解析式，已知已有x＞0時的函數解析式，只要根據題意求出x＜0時的解析式即可，根據x＜0時，由-x＞0結合奇函數的定義f（-x）=-f（x）可求；
（2）根據（1）中函數x＜0時的解析式，分析函數的單調性，進而可得函數y=f（x）在[-2，-

1

2

]的值域；
（3）設函數y=f（x）在在區間[-3，-1]∪[1，3]的最大值m，最小值n，由奇偶性的定義，可得m+n=0，進而根據M=m+1，N=n+1，可得答案．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0
∵當x＞0時，f（x）=2x²-

1

x

+1．
∴f（-x）=2（-x）²-

1

-x

+1=2x²+

1

x

+1．∵
又∵函數y=f（x）是區間（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=-2x²-

1

x

-1．
∴f（x）=

-2x2- 1 x -1，x＜0 2x2- 1 x +1，x＞0

（2）∵y=-2x²-1在[-2，-

1

2

]上為增函數，y=

1

x

在[-2，-

1

2

]上為減函數
∴f（x）=-2x²-

1

x

-1在[-2，-

1

2

]上為增函數，
∴當x=-2時，函數取最小值-

17

2

，當x=-

1

2

時，函數取最大值

1

2

故函數y=f（x）在[-2，-

1

2

]的值域為[-

17

2

，

1

2

]
（3）設函數y=f（x）在在區間[-3，-1]∪[1，3]的最大值m，最小值n，
則m+n=0
又∵函數g（x）=f（x）+1在區間[-3，-1]∪[1，3]的最大值M，最小值N，
∴M=m+1，N=n+1
∴M+N=2

點評：本題主要考查了利用函數的奇偶性求解函數的解析式，函數的值域與最值，是函數圖象和性質的綜合應用，難度中檔．