Question

設函數f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x（x∈R），其中m＞0．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值；
（3）已知函數f（x）有三個互不相同的零點0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）當m=1時，f(x)=-

1

6

x6+xk，f′(x)=-xk+kx，
故f'（1）=-1+k=1，所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為1．（k分）

（k）f'（x）=-x^k+kx+m^k-1，令f'（x）=0，解得x=1-m或x=1+m．
∵m＞0，所以1+m＞1-m，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內是減函數，在（1-m，1+m）內是增函數．
函數f（x）在x=1-m處取得極0值f（1-m），且f（1-m）=-

k

6

m6+mk-

1

6

，
函數f（x）在x=1+m處取得極圖值f（1+m），且f（1+m）=

k

6

m6+mk-

1

6

．（6分）

（6）由題設，f(x)=x(-

1

6

xk+x+mk-1)=-

1

6

x(x-x1)(x-xk)，
∴方程-

1

6

xk+x+mk-1=0有兩個相異的實根x₁，x_k，
故x1+xk=6，且△=1+

4

6

(mk-1)＞0，∵m＞0
解得m＞

1

k

，（8分）
∵x₁＜x_k，所以kx_k＞x₁+x_k=6，
故x_k＞

6

k

＞1．（10分）
①當x₁≤1＜x_k時，f（1）=-

1

6

（1-x₁）（1-x_k）≥0，而f（x₁）=0，不符合題意，
②當1＜x₁＜x_k時，對任意的x∈[x₁，x_k]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x_k≤0，
則f(x)=-

1

6

x(x-x1)(x-xk)≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x_k]上的最0值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x_k]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f（1）=m^k-

1

6

＜0，
解得-

6

6

＜m＜

6

6

，
∵由上m＞

1

k

，
綜上，m的取值范圍是（

1

k

，

6

6

）．（14分）