Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣x+ +1（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調性與極值點的個數；
（2）當a=0時，關于x的方程f（x）=m（m∈R）有2個不同的實數根x1 ， x2 ， 證明：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】
（1）解：解：f′（x）= ﹣1﹣ = ，x＞0

方程﹣x2+x﹣a=0的判別式為△=1﹣4a，

①當a≥ 時，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞），為減函數，無極值點，

②當0≤a＜ 時，令f′（x）=0，解得x1= ＞0，x2= ，

當f′（x）＜0，解得0＜x＜ ，x＞ ，

此時f（x）在（0， ），（ ，+∞）為減函數，

當f′（x）＞0時，解得 ＜x＜ ，

此時f（x）在（ ， ）為增函數，

此時f（x）有一個極大值點x= ，和一個極小值點x= ，

③當a＜0，令f′（x）=0，解得x1= ＜0，x2= ＞0，

當f′（x）＞0，解得0＜x＜ ，此時f（x）在（0， ），為增函數，

當f′（x）＜0時，解得x＞ ，此時在（ ，+∞）為減函數，

此時f（x）有一個極大值點x=

（2）由題意知f（x1）=m，f（x2）=m，

故f（x1）=f（x2），

∵x1≠x2，不妨設x1＜x2，

∴lnx1﹣x1+1=lnx2﹣x2+1，

∴ln =x2﹣x1，

令 =t，則x2=tx1，

∴lnt=（t﹣1）x1，

∴x1= ，x2=tx1= ，

故要證x1+x2= lnt＞2，t＞1，

即證（t+1）lnt＞2（t﹣1），

令g（t）=（t+1）lnt﹣2t+2，

∴g′（t）= +lnt﹣2= ，

令h（t）=tlnt﹣t+1，t＞1，

則h′（t）=lnt＞0，

∴h（t）在t∈（1，+∞）上為增函數，

∴h（t）＞h（1）=0，

∴g（t）在（1，+∞）為增函數，

∴g（t）＞g（1）=0，

∴（t+1）lnt＞2（t﹣1），

即 lnt＞2，

∴x1+x2＞2

【解析】（1）先求出導函數，再根據判別式和a的范圍分類討論，即可判斷函數的單調性和極值點的個數，（2）問題轉化為要證x1+x2= lnt＞2，t＞1，即證（t+1）lnt＞2（t﹣1），構造函數，根據導數和函數的單調性和最值得關系即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．