Question

選做題（請考生在以下三個小題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分）
（1）若M，N分別是曲線ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

上的動點，則M，N兩點間的距離的最小值是

 

；
（2）不等式|2x-1|-x＜1的解集是

 

；
（3）如圖，過點P作圓O的割線PAB與切線PE，E為切點，連接AE，BE，∠APE的平分線與AE，BE分別交于點C，D，若∠AEB=30°，則∠PCE=

 

°；

Answer 1

分析：（1）可以先將極坐標方程化為直角坐標方程，M、N是直線與圓上的兩個動點，最小距離為圓心到直線的距離減去半徑即可；
（2）將絕對值不等式移項，兩邊平方，然后解一元二次不等式即可；
（3）利用弦切角，以及三角形的外角與內角的關系，結合圖形即可解決．

解答：解：（1）曲線ρ=2cosθ和ρsin(θ-

π

4

)=

2

2

可化為直角坐標方程為：x-y+1=0與（x-1）²+y²=1
∴M、N在直線與圓心（1，0）半徑為1的圓上
圓心（1，0）到直線的距離d=

|2|

2

=

2

∴M，N兩點間的距離的最小值dmin=

2

-1  故答案為：

2

- 1

（2）|2x-1|-x＜1
∴|2x-1|＜x+1  兩邊平方得，
（2x-1）²＜（x+1）²
∴x²-2x＜0  即 0＜x＜2   故答案為（0，2）

（3）如圖，PE 是圓的切線
∴∠PEB=∠PAC
∵AE是∠APE的平分線
∴∠EPC=∠APC
根據三角形的外角與內角關系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC
∴∠EDC=∠ECD
∴△EDC為等腰三角形，又∠AEB=30°
∴∠EDC=∠ECD=75°即∠PCE=75°，
故答案為75．

點評：本題考查極坐標與直角坐標之間的轉化，點到直線的距離，絕對值不等式的解法，以及圓與三角形相關知識．