Question

（本題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，與平面所成角的正切值依次是和，，依次是的中點.
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為. 

本試題主要是考查了面面垂直和線面角的求解的綜合運用。
（1）第一問中要證明面面垂直關鍵是證明線面垂直，然后利用判定定理得到。
（2）第二問先根據線面角的定義，作出線面角，然后利用直角三角形的邊角的關系求解的得到。
解：（1）∵與平面所成角的正切值依次
是和,∴
∵平面,底面是矩形
∴平面  ∴
∵是的中點   ∴
∴        …………………………7分
（2）解法一：∵平面，∴，又,
∴平面，取中點，中點，聯結，
則且，是平行四邊形，
∴即為直線與平面所成的角. 在中，，，
，
∴直線與平面所成角的正弦值為. 
解法二：分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，依題意，，則各點坐標分別是
，，，，
，∴，，,
又∵平面，
∴平面的法向量為，
設直線與平面所成的角為，則
,         
∴直線與平面所成角的正弦值為.   …………………………15分
解：（1）∵與平面所成角的正切值依次
是和,∴
∵平面,底面是矩形
∴平面  ∴
∵是的中點   ∴
∴        …………………………7分
（2）解法一：∵平面，∴，又,
∴平面，取中點，中點，聯結，
則且，是平行四邊形，
∴即為直線與平面所成的角. 在中，，，
，
∴直線與平面所成角的正弦值為. 
解法二：分別以為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，依題意，，則各點坐標分別是
，，，，
，∴，，,
又∵平面，
∴平面的法向量為，
設直線與平面所成的角為，則
,         
∴直線與平面所成角的正弦值為.   …………………………15分