Question

設平面內的向量

OA

=(1，7)，

OB

=(5，1)，

OM

=(2，1)，點P是直線OM上的一個動點，且

PA

•

PB

=-8，求

OP

的坐標及∠APB的余弦值．

Answer 1

分析：由題意，可設

OP

=(x，y)，再由點P在直線OM上，得到

OP

與

OM

共線，由此共線條件得到x，y之間的關系，代入

PA

•

PB

=-8，解出x，y的值，即可求出

OP

的坐標及

PA

=（-3，5），

PB

=（1，-1），再由夾角的向量表示公式cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

求出∠APB的余弦值

解答：解：（1）由題意，可設

OP

=(x，y)，∵點P在直線OM上，
∴

OP

與

OM

共線，而

OM

=(2，1)，
∴x-2y=0，即x=2y，有

OP

=（2y，y），
∵

PA

=

OA

-

OP

=（1-2y，7-y），

PB

=

OB

-

OP

=（5-2y，1-y），
∴

PA

•

PB

=（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y），即

PA

•

PB

=5y²-20y+12，
又

PA

•

PB

=-8，
∴5y²-20y+12=-8，解得y=2，x=4
此時

OP

=（4，2），

PA

=（-3，5），

PB

=（1，-1），
∴cos∠APB=

PA • PB

| PA || PB |

=

-8

34 × 2

=-

4 17

17

點評：本題考查了向量共線的條件，向量的坐標運算，數量積的坐標表示，向量的模的求法及利用數量積計算夾角的余弦，本題綜合性強，運算量大，謹慎計算是正確解題的關鍵