Question

已知數列{a_n}成等差數列，且a₃=11，a₆=23，令b_n=

a1+a2+a 3+…+an

n

．
（1）求數列{b_n}的前n項和S_n；
（2）若C_n=

1

Sn

，若數列{C_n}的前n項和為T_n，且對任意的n∈N^*都有T_n≥m無解，求m范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得a_n=4n-1，進一步可證數列{b_n}是等差數列，且求得b_n=2n+1，從而可求數列{b_n}的前n項和S_n；
（2）利用裂項法可求得C_n=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），從而可求T_n=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，利用等價轉化的思想即可求得實數m的范圍．

解答：解：（1）∵數列{a_n}是等差數列，且a₃=11，a₆=23，
∴其公差d=

a6-a3

6-3

=

23-11

3

=4，
∴a_n=a₃+（n-3）d=11+（n-3）×4=4n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=

(3+4n-1)×n

2

，
∴b_n=

a1+a2+a 3+…+an

n

=

(3+4n-1)×n 2

n

=2n+1，
∴b_n+1-b_n=2，故數列{b_n}是等差數列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

(3+2n+1)×n

2

=n²+2n；
（2）∵C_n=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=C₁+C₂+…+C_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，
∵對任意的n∈N^*都有T_n≥m無解?對任意的n∈N^*都有T_n＜m恒成立，
∴m≥

3

2

．
∴實數m的范圍是[

3

2

，+∞）．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差關系關系的確定，突出裂項法求和的應用，考查等價轉化思想、方程思想與綜合運算能力，屬于難題．