Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，極大值，當(dāng)時，極小值；（2）證明見解析.

【解析】

（1）首先求出導(dǎo)函數(shù)，將代入，求出的正負(fù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可求解.

（2）由（1）知，當(dāng)，時，可得，即，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，證出，進(jìn)而證出不等式.

（1）因為，

所以當(dāng)時，，

因為當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時，函數(shù)有極大值，

當(dāng)時，函數(shù)有極小值.

（2）由（1）知，當(dāng)，時，

函數(shù)在時取得極小值，即最小值，

所以，化簡可得，

令，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

從而可得，

因為不等式的兩個等號不同時成立，所以.