Question

已知函數.
（1）若曲線在和處的切線相互平行，求的值；
（2）試討論的單調性；
（3）設，對任意的，均存在，使得.試求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）實數的取值范圍是.

試題分析：（1）先求出函數的導數，利用條件“曲線在和處的切線相互平行”得到，從而在方程中求出的值；（2）對參數的符號進行分類討論，以確定方程的根是否在定義域內，并對時，就導數方程的根與的大小進行三種情況的分類討論，從而確定函數的單調區間；（3）將問題中的不等式等價轉化為，充分利用（2）的結論確定函數在區間上的最大值，從而求出參數的取值范圍.
試題解析：函數定義域為，
（1）∵函數
 
依題意，，即，解得；
（2），
①當時，，，
在區間上，；在區間上，，
故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
②當時，，
在區間和上，；在區間上，，
故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
③當時，，故的單調遞增區間為；
④當時，，
在區間和上，；在區間上，，
故函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為；
（3）由已知，在(0,2]上有f(x)_max＜g(x)_max.
由已知，g(x)_max＝0，由(2)可知，
①當a≤時，f(x)在(0,2]上單調遞增，
故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2
＝－2a－2＋2ln2，
∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故ln2－1＜a≤.
②當a＞時，f(x)在]上單調遞增，在]上單調遞減，
故f(x)_max＝f＝－2－－2lna.
由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，
∴－2－2lna＜0，即f(x)_max＜0，符合題意。
綜上所述，a＞ln2－1.