Question

已知函數.
（I）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若,對都有成立，求實數的取值范圍；
（Ⅲ）證明：（且）.

Answer 1

（I）當時，單調遞增區間為（0，+∞）.當m>0時，單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，+∞）. （Ⅱ）實數的取值范圍為.（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（I）應用導數研究函數的單調性.遵循“求導數，令導數大（小）于0，解不等式，求單調區間”.
（Ⅱ）將問題轉化成“對都有”，
通過求，得到函數在[2,2]上是增函數，
求得=g(2)=2-,利用2-，及得到實數的取值范圍為.
（Ⅲ）通過構造函數，利用（I）確定的單調性得到，（當時取“=”號），利用“錯位相減法”求得S=
證得（）.
試題解析：（I）   1分
當時，在（0，+∞）單調遞增. 2分
當m>0時，由得    
由得
由得>   4分
綜上所述：當時，單調遞增區間為（0，+∞）.
當m>0時，單調遞增區間為（0，），單調遞減區間為（，+∞）.   5分
（Ⅱ）若m=,,對都有成立等價于對都有 6分
由（I）知在[2,2]上的最大值= 7分

函數在[2,2]上是增函數，
=g(2)=2-,    9分
由2-，得，又因為，∴∈
所以實數的取值范圍為. 10分
（Ⅲ）證明：令m=，則
由（I）知f(x)在（0,1）單調遞增，（1，+∞）單調遞減，
，（當x=1時取“=”號）
   11分

<    12分
令S=       ①
2S= ②
①-②得-S=
S=
（）    14分