Question

已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值
（1）求a與b的關(guān)系式；
（2）若y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間的長(zhǎng)度不小于2，求a的取值范圍（注：區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度為n-m）；
（3）若不等式f（x）≥x-2對(duì)一切x≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）f'（x）=3x²+2ax+b
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-2在x=1取得極值
∴f'（1）=3+2a+b=0
（2）由（1）知b=-2a-3
∴f'（x）=3x²+2ax-2a-3=（3x+2a+3）（x-1）＜0
∵y=f（x）的單調(diào)減區(qū)間的長(zhǎng)度不小于2
∴|1-（-

2a+3

3

）|≥2
解得：a≥0或a≤-6
（3）f（x）=x³+ax²+（-2a-3）x-2≥x-2對(duì)一切x≥3恒成立
x³+ax²-（2a+4）x≥0對(duì)一切x≥3恒成立
∴x²+ax-（2a+4）≥0對(duì)一切x≥3恒成立
即a（x-2）≥4-x²，a≥-x-2
∴a≥-5