Question

已知橢圓C：的離心率為，
直線：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅰ).
（Ⅱ）存在滿足題意的點(diǎn)（m,0）且實(shí)數(shù)的取值范圍為：.

解析試題分析：(Ⅰ)利用離心率公式，得到，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，得到，得到，從而得到橢圓C的方程.（Ⅱ）通過假設(shè)的方程為（），與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用“向量法”得到. 將表示成應(yīng)用導(dǎo)數(shù)或均值定理確定的范圍.
試題解析：(Ⅰ)， 2分
∵直線：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
∴，解得，則a²="4." 4分
故所求橢圓C的方程為. 5分
（Ⅱ）在軸上存在點(diǎn)，使得是以GH為底邊的等腰三角形.  6分
理由如下：
設(shè)的方程為（），
由
因?yàn)橹本�與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/d/1jhyl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
設(shè)，，則.     7分
.
=
.
由于等腰三角形中線與底邊互相垂直，則.    8分
所以.
故.
即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/d/1jhyl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.所以.

設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以
，    10分
所以  11分
（若學(xué)生用基本不等式求解無證明扣1分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/d/1jhyl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.  所以，.
故存在滿足題意的點(diǎn)（m,0）且實(shí)數(shù)的取值范圍為：.    12分
考點(diǎn)：1、橢圓的幾何性質(zhì)，2、直線與橢圓的位置關(guān)系，3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.