Question

已知點P是圓C：x²+y²=1外一點，設k₁，k₂分別是過點P的圓C兩條切線的斜率．
（1）若點P坐標為（2，2），求k₁•k₂的值；
（2）若k₁•k₂=-λ（λ≠-1，0），求點P的軌跡M的方程，并指出曲線M所在圓錐曲線的類型．

Answer 1

（1）設過點P的切線斜率為k，方程為y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；
∵其與圓相切，則

|2k-2|

k2+1

=1，化簡得3k²-8k+3=0，
∴k₁•k₂=1．
（2）設點P坐標為（x₀，y₀），過點P的切線斜率為k，
則方程為y-y₀=k（x-x₀），即kx-y-2k+2=0，
∵其與圓相切，∴

|kx0-y0|

k2+ 1

=1，化簡得（x₀²-1）k²-2x₀y₀+（y₀²-1）=0，
∵k₁，k₂存在，
則x₀≠1且x₀≠-1，△=（2x₀y₀）²-4（x₀²-1）（y₀²-1）=4（x₀²+y₀²）-4＞0，
∵k₁，k₂是方程的兩個根，
∴k₁•k₂=

y02-1

x02-1

=-λ，化簡得λx₀²+y₀²=λ+1．
即所求的曲線M的方程為：λx²+y²=λ+1（x≠±1）；
若λ∈（-∞，-1）時，所在圓錐曲線M是焦點在x軸上的雙曲線；
若λ∈（-1，0）時，所在圓錐曲線M是焦點在y軸上的雙曲線；
若λ∈（0，1），M所在圓錐曲線M是焦點在x軸上的橢圓；
若λ=1時，M所在曲線M是圓；
若λ∈（1，+∞）時，所在圓錐曲線M是焦點在y軸上的橢圓．