Question

在平面直角坐標系中，點P（x，y）為動點，已知點，，直線PA與PB的斜率之積為．
（I）求動點P軌跡E的方程；
（ II）過點F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點，設點N關于x軸的對稱點為Q（M、Q不重合），求證：直線MQ過定點．

Answer 1

（I）解：由題知：…（2分）
化簡得：…（4分）
（II）證明一：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：x=my+1，
代入整理得（m²+2）y²+2my-1=0…（6分）
∴，，…（8分）
∵MQ的方程為
令y=0，得…（10分）
∴直線MQ過定點（2，0）．…（12分）
證明二：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），
代入整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…（6分）
∴，，…（8分）
∵MQ的方程為
令y=0，得…（10分）
∴直線MQ過定點（2，0）．…（12分）
分析：（I）利用直線PA與PB的斜率之積為，建立等式，化簡，即可求得求動點P軌跡E的方程；
（II）設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，求得直線方程，令y=0，即可證得結論．
點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．