Question

【題目】袋中共有8個乒乓球，其中有5個白球，3個紅球，這些乒乓球除顏色外完全相同.從袋中隨機取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補一個紅球放入袋中，重復上述過程次后，袋中紅球的個數記為.

(I)求隨機變量的概率分布及數學期望；

(Ⅱ)求隨機變量的數學期望關于的表達式.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ).

【解析】分析：（1）由題意得到的所有取值，然后利用古典概型概率計算公式求出概率，則可得出答案；

（2）設，，則則 ， ，再把、……、用 表示，得到，從而說明為等比數列，由等比數列的通項公式得答案.

解析：(1)由題意可知.

當時，即二次摸球均摸到紅球，其概率是；

當時，即二次摸球恰好摸到一紅，一白球，其概率 ；

當時，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.

所以隨機變量的概率分布如下表：

(一個概率得一分不列表不扣分)

數學期望 .

(Ⅱ)設，.

則 ， .

，，，，

，.

所以，.

.

由此可知，.

又，所以.