Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω，0，0＜φ＜

π

2

），圖象與x軸交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

．且圖象最低點M（

2π

3

，-2）．
（1）求f（x）解析式
（2）將y=f（x）所有點縱坐標縮短到原來的

1

2

倍（橫坐標不變），在將圖象向右平移

π

3

個單位長度，最后在將所有點橫坐標伸長到原來4倍（縱坐標不變）得到y=g（x），求y=log_0.7g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）依題意，可知周期T=π，從而可知ω，由圖象最低點M（

2π

3

，-2），0＜φ＜

π

2

，可求得A與φ，從而可得f（x）解析式；
（2）由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=-cos

x

2

，利用復合函數的同增異減的單調性即可求得y=log_0.7g（x）的單調遞減區間．

解答：解：（1）由相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，則周期T=π，
解得ω=2，圖象最低點M（

2π

3

，-2）得：A=2，
2sin（2x+φ）=-2，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）…4分
（2）由圖象變換知：g（x）=-cos

x

2

…6分
由g（x）＞0，即-cos

x

2

＞0得：cos

x

2

＜0，
解得4kπ+π≤x≤4kπ+3π（k∈Z）…8分
要求y=log_0.7g（x）的單調遞減區間，由復合函數同增異減的單調性知，
需求g（x）的單調遞增區間，即求cos

x

2

的單調遞減區間，
由2kπ≤

x

2

≤2kπ+π（k∈Z）得：x∈[4kπ，4kπ+2π]（k∈Z），…10分
∴y=log_0.7g（x）的單調遞減區間為[4kπ+π，4kπ+2π]（k∈Z），…12分

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，突出考查復合函數同增異減的單調性質，屬于難題．