Question

（2013•順義區一模）現有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊兩次，每次命中的概率為

3

4

，每命中一次得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊一次，命中的概率為

2

3

，命中得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊．
（I）求該射手恰好命中兩次的概率；
（II）求該射手的總得分X的分布列及數學期望EX；
（III）求該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該射手恰好命中兩次共有

C

2 3

=3種情況，根據相互獨立事件的概率計算公式及互斥事件的概率計算公式即可得出；
（Ⅱ）由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，相互獨立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式及數學期望的計算公式計算即可．
（Ⅲ）該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次可分為以下兩種情況：“該射手向甲靶射擊命中一次且向乙靶射擊未命中”事件，“該射手向甲靶射擊命中2次且向乙靶射擊命中”事件，且上述兩種事件互斥，利用相互獨立事件的概率計算公式及互斥事件的概率計算公式解出即可．

解答：解：（I）記：“該射手恰好命中兩次”為事件A，“該射手第一次射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第二次射擊甲靶命中”為事件C，“該射手射擊乙靶命中”為事件D．
由題意知，P(B)=P(C)=

3

4

，P(D)=

2

3

，
所以P(A)=P(BC

.

D

)+P(B

.

C

D)+P(

.

B

CD)=P(B)P(C)P(

.

D

)+P(B)P(

.

C

)P(D)+P(

.

B

)P(C)P(D)
=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

+(1-

3

4

)×

3

4

×

2

3

=

7

16

．
（II）根據題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，4．
P(X=0)=P(

.

B

.

C

.

D

)=(1-

3

4

)×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)=

1

48

，P(X=1)=P(B

.

C

.

D

)+P(

.

B

C

.

D

)=

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×

3

4

×(1-

2

3

)=

1

8

，
P(X=2)=P(BC

.

D

)+P(

.

B

.

C

D)=

3

4

×

3

4

×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×(1-

3

4

)×

2

3

=

11

48

，
P(X=3)=P(B

.

C

D)+P(

.

B

CD)=

3

4

×(1-

3

4

)×

2

3

+(1-

3

4

)×

3

4

×

2

3

=

1

4

，
P（X=4）=P（BCD）=

3

4

×

3

4

×

2

3

=

3

8

，
故X的分布列是

X	0	1	2	3	4
P	1 48	1 8	11 48	1 4	3 8

∴EX=0×

1

48

+1×

1

8

+2×

11

48

+3×

1

4

+4×

3

8

=

17

6

．
（III）設“該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次”為事件A₁，“該射手向甲靶射擊命中一次且向乙靶射擊未命中”為事件B₁，“該射手向甲靶射擊命中2次且向乙靶射擊命中”為事件B₂，
則A₁=B₁∪B₂，B₁，B₂為互斥事件．
P（A₁）=P（B₁）+P（B₂）=

3

4

×(1-

3

4

)×(1-

2

3

)+(1-

3

4

)×

3

4

×(1-

2

3

)+

3

4

×

3

4

×

2

3

=

1

2

．
∴該射手向甲靶射擊比向乙靶射擊多擊中一次的概率為

1

2

．

點評：正確理解相互獨立事件的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式、數學期望的計算公式，熟練掌握以上公式計算及正確分類是解題的關鍵．