Question

已知圓A的圓心為（，0），半徑為1，雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且與圓A相切，雙曲線C的一個頂點A′與點A關于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設直線l過點A，斜率為k，當0＜k＜1時，雙曲線C的上支上有且僅有一點B到直線l的距離為，試求k的值及此時點B的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設雙曲線的漸近線為y=kx，則可求得圓心到直線的距離求得k，進而求得點A的關于直線y=x的對稱點，求得雙曲線的a和b，雙曲線方程可得．
（2）依題意設B點在與l平行的直線l'上，且l與l'間的距離為，設直線l'：y=kx+m，則可表示出B點到直線l的距離求得m與k的關系式，把l'代入雙曲線方程，根據判別式等于0求得m和k的另一個關系式，聯立求得m和k，進而求得B點的坐標．
解答：解：（1）設雙曲線的漸近線為y=kx，則，解得k=±1．即漸近線為y=±x．
又點A關于y=x的對稱點A'的坐標為（0，），
所以，a=b=，雙曲線的方程為．
（2）直線l：y=k（x-），（0＜k＜1）．
依題意設B點在與l平行的直線l'上，且l與l'間的距離為，設直線l'：y=kx+m，則=，即m²+2km=2①
把l'代入雙曲線方程得：（k²-1）x²+2mkx+m²-2=0
∵0＜k＜1，∴k²-1≠0．∴△=4（m²+2k²-2）=0，即m²+2k²=2②
解①②，得m=，k=．
此時，x=2，y=，所以B（2，）．
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．圓錐曲線與直線的關系歷來是高考的熱點，應加強復習．