Question

如圖，四棱錐A-BCDE中，△ABC是正三角形，四邊形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．
（Ⅰ） 若點G是AE的中點，求證：AC∥平面BDG；
（II）若點F為線段AB的中點，求二面角B-CE-F的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的判定和性質定理、面面垂直的性質定理、二面角的定義即可得出．

解答：（Ⅰ）證明：連接CE、BD，設CE∩BD=O，連接OG，由三角形的中位線定理可得：OG∥AC，
∵AC?平面BDG，OG?平面BDG，
∴AC∥平面BDG．
（Ⅱ）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，
∴DC⊥AC，
在Rt△ACD中，CD=

AD2-AC2

=

42-22

=2

3

．
取BC的中點M，連接AM，則AM⊥平面BCDE．
取BM 的中點N，連接FN，則FN∥AM，∴FN⊥平面BCDE．
過點N作NP⊥CE，垂足為P，連接FP，由三垂線定理可得FP⊥CE．
∴∠FPN為二面角B-CE-F的平面角．
在Rt△CNP中，NP=CNsin∠NCP=

3

2

×

2 3

(2 3 )2+22

=

3 3

4

．
在Rt△FNP中，tan∠FPN=

FN

NP

=

3 2

3 3 4

=

2

3

．

點評：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、線面及面面垂直的判定和性質定理、二面角的定義是解題的關鍵．