Question

已知定義在R上的奇函數f（x）．當x＜0時，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）問：是否存在實數a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]時，函數值的集合為[

1

b

，

1

a

]？若存在，求出a，b；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據x＜0時f（x）的表達式，利用函數是定義在R上的奇函數，算出當x＞0時f（x）=-f（-x）=2x-x²，再由f（0）=0，即可寫出函數f（x）分段函數形式的解析式；
（II）由題意可得a＜b＜0或0＜a＜b，再分別根據a＜b＜0和0＜a＜b時兩種情況討論，利用函數的單調性建立關于a、b的方程組，解之可得滿足條件的實數a、b的值．

解答：解：（I）∵當x＜0時，f（x）=x²+2x，
∴當x＞0時，f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，且當x＞0時f（x）=-f（-x）=2x-x²，
因此，函數f（x）的解析式為f(x)=

-x2+2x， (x＞0) 0， (x=0) x2+2x，(x＜0)

；
（I）由（1）求出的f（x）解析式，作出f（x）的圖象如圖所示．
若f（x）在x∈[a，b]時，函數值的集合為[

1

b

，

1

a

]，
則a＜b且

1

b

＜

1

a

，可得a＜b＜0或0＜a＜b．
①當a＜b＜0時，若a∈（-1，0），則

1

a

＜-1．
由于函數f（x）在（-∞，0）的最小值為-1，所以不存在x∈[a，b]使函數值的集合為[

1

b

，

1

a

]，
因此a∈（-∞，-1]，同理可得b∈（-∞，-1]，
∴a＜b≤-1，可得f（x）在[a，b]上為減函數，
即

f(a)=a2+2a= 1 a f(b)=b2+2b= 1 b

，解之得

a=- 1+ 5 2 b=-1

；
②當0＜a＜b時，類似①的方法可得a∈[1，+∞），且b∈[1，+∞）．
∴1≤a＜b，可得f（x）在[a，b]上為減函數，
即

f(a)=a2+2a= 1 a f(b)=b2+2b= 1 b

，解之得

a=1 b= 1+ 5 2

．
綜上所述，存在

a=1 b= 1+ 5 2

或

a=- 1+ 5 2 b=-1

，使得f（x）在x∈[a，b]時，函數值的集合為[

1

b

，

1

a

]．

點評：本題著重考查了函數的奇偶性與單調性及其應用、函數的解析式求法和基本初等函數的圖象與性質等知識，考查了分類討論的數學思想，屬于中檔題．