Question

如圖，在長方體中，分別是的中點，分
的中點，

（Ⅰ）求證：面；
（Ⅱ）求二面角的大小。
（Ⅲ）求三棱錐的體積。

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為 ；
（Ⅲ） 。

本試題主要是考查了立體幾何中線面平行的證明，以及二面角的求解和錐體體積的計算的綜合運用。
（1）利用線面平行的判定定理可知找到線線平行，從而得到結論。
（2）建立空間直角坐標系，然后表示平面的法向量，運用向量的夾角公式得到二面角的平面角的大小
（3）根據錐體體積的公式，利用底面積和高度來求解得到。
解：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立直角坐標系，

則：
∵分別是的中點
∴
（Ⅰ）
取，顯然面
，∴
又面 ∴面           。。。。。。。。。。。
（Ⅱ）過作，交于，取的中點，則∵
設，則
又
由，及在直線上，可得:
解得
∴ ∴  即
∴與所夾的角等于二面角的大小

故：二面角的余弦值為                   。。。。。
（Ⅲ）設為平面的法向量，則
又
∴   即   ∴可取
∴點到平面的距離為
∵， 
∴
∴           。。。。。。