Question

已知函數和的定義域都是[2，4].
若,求的最小值；
若在其定義域上有解，求的取值范圍；
若，求證.

Answer 1

(1) ;   (2)  ;   (3) 祥見解析．

試題分析：(1)將p=1代入函數知其為分式函數，而又知其定義域為[2,4]，所以我們可用導數方法來判斷函數的單調性，進而就可求出其最小值；
試題解析：(1)將p=1代入中，所以，所以f(x)的導數為，令
所以 當和時函數為增函數，又因為已知定義域為[2,4]，所以恒為增函數，所以；
（2）令k=，要求f(x)＜2在定義域上有解，則方程當k＜2時在[2,4]上有解，∵k＜2，p＞0
∴拋物線對稱軸，從而方程，當k＜2時在[2,4]上有解，又p＞0，∴0＜p＜2；
（3）；根據第（1）問結論：
而，
∵，當且僅當x=3時取等號；∴，而
∴.