Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，且，為的中點．

（1）過點作一條射線，使得，求證：平面 平面；

（2）求二面角的余弦值的絕對值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連線和交于點，連接，則是的中點，由中位線定理得，由線面平行的判定定理得以平面；同理得平面，進而由面面平行得判定定理可得結論；（2）分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，進而用空間向量夾角余弦公式求解.

試題解析：（1）證明：在矩形中，連線和交于點，連接，則是的中點，由于是的中點，所以是△的中位線，則，

又平面，平面，

所以平面，

又，同理得平面，

因為，所以平面平面．

（2）解：分別以，，所在的直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系．

設，則，，故，，，，

所以，，，，

設平面的一個法向量為，則有即令，則，，故．

同理，可得平面的一個法向量，

所以，即二面角的余弦值的絕對值為．