Question

(本題滿分14分)已知函數。

（Ⅰ）若函數在上為增函數，求正實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，求在上的最大值和最小值；

（Ⅲ）當時，求證：對大于的任意正整數，都有 。

Answer 1

解：（I）      ……………1分

∵  函數在上為增函數

∴  對恒成立，               ……………………2分

∴  對恒成立，即對恒成立

∴                                                ……………………4分

（II）當時，，

∴  當時，，故在上單調遞減；當時，，故在上單調遞增，          ………………6分

∴ 在區間上有唯一極小值點，故  ……7分

又  

∵      ∴ 

       ∴ 在區間上的最大值

綜上可知，函數在上的最大值是，最小值是。………………9分

（Ⅲ）當時，，故在上為增函數。

當時，令，則，故 ……………………11分

∴  即………12分

∴ 

       ∴    …………………13分

     ∴ 

即對大于的任意正整數，都有     ……………………14分