Question

已知函數f（x）=a•lnx+b•x²在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）滿足f（x）≥g（x）恒成立，則稱f（x）是g（x）的一個“上界函數”，如果函數f(x)為g(x)=

t

x

-lnx（t為實數）的一個“上界函數”，求t的取值范圍；
（3）當m＞0時，討論F(x)=f(x)+

x2

2

-

m2+1

m

x在區間（0，2）上極值點的個數．

Answer 1

分析：（1）把x=1代入切線方程得到y=0，得到切點坐標，把切點坐標代入f（x）中，解得b的值，求出f（x）的導函數，把b的值代入后，再根據′（1）=1，求出a的值，把a與b的值代入即可確定出f（x）；
（2）把（1）求出的f（x）和g（x）的解析式代入題中的不等式中，不等式要恒成立，即要當x大于0時，t小于等于一個關系式，設這個關系式為一個函數h（x），求出h（x）的導函數，令導函數等于0求出x的值，利用x的值分區間討論導函數的正負，得到函數h（x）的單調區間，根據函數的增減性得到h（x）的最小值，進而得到t的取值范圍；
（3）把（1）中求出的f（x）代入確定出F（x）的解析式，求出F（x）的導函數，令導函數等于0，得到x+

1

x

等于一個關系式，設y=x+

1

x

，且x大于0小于2，畫出該函數的圖象，如圖所示，然后分m=1，m大于

1

2

小于2，m大于0小于等于

1

2

和m大于等于2，四種情況，根據函數的圖象，即可得到相應區間上極值點的個數．

解答：解：（1）當x=1時，y=0，代入f（x）=a•lnx+b•x²，可得：b=0，
所以f′（x）=

a

x

，由切線方程知f′（1）=1，所以a=1，
因此a=1，b=0，所以f（x）=lnx；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入得：

t

x

-lnx≤lnx恒成立，
因為x＞0，所以只需要t≤2xlnx在（0，+∞）恒成立即可，
令h（x）=2xlnx，則h′（x）=2（1+lnx），
當x∈（0，

1

e

）時，h′（x）＜0，所以h（x）在（0，

1

e

）上是減函數，
當x∈（

1

e

，+∞）時，h′（x）＞0，所以h（x）在（

1

e

，+∞）上是增函數，
所以h（x）_min=h（

1

e

）=-

2

e

，所以t≤-

2

e

；
（3）由已知得F（x）=lnx+

x2

2

-

m2+1

m

x，所以F′（x）=

1

x

+x-

m2+1

m

，
令F′（x）=0，得到

1

x

+x=

m2+1

m

，令y=x+

1

x

，x∈（0，2），
畫出該函數的圖象，如圖所示：

①當

m2+1

m

=2，即m=1時，F′（x）=0在區間（0，2）上只有一個根1，且在1的兩側，
x+

1

x

＞2，即在1的兩側F′（x）同正，此時F（x）在（0，2）上無極值點；
②當2＜

m2+1

m

＜

5

2

，即

1

2

＜m＜2，且m≠1時，F′（x）=0在區間（0，2）上有兩個不等根，
不妨設為x₁，x₂，且x₁＜x₂，從圖象上看在x₁和x₂兩側F′（x）=x+

1

x

-

m2+1

m

都是異號的，
因此x₁和x₂都是F（x）的極值點，此時F（x）在（0，2）上有兩個極值點；
③當

0＜m＜2 1 m ≥2

，即0＜m≤

1

2

時，方程在區間（0，2）上只有一個根m，
由該方程所對應的二次函數圖象可知，F′（x）在m兩側的符號不同，
因此函數F（x）在區間（0，2）上只有一個極值點；
④當

0＜ 1 m ＜ 2 m≥2

，即m≥2時，方程在區間（0，2）上只有一個根

1

m

，
由該方程所對應的二次函數圖象可知，F′（x）在

1

m

兩側的符號不同，
因而函數F（x）在區間（0，2）上只有一個極值點，
綜上，當m=1時，函數F（x）在區間（0，2）上無極值點；
當m∈（0，

1

2

）∪[2，+∞）時，函數F（x）在區間（0，2）上有一個極值點；
當m∈（

1

2

，1）∪（1，2）時，函數F（x）在區間（0，2）上有兩個極值點．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函數的極值，掌握導數在最大值、最小值問題中的應用，考查了分類討論和數形結合的數學思想，是一道中檔題．