Question

已知數列{a_n}是遞增數列，且滿足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（1）若{a_n}是等差數列，求數列{a_n}的前7項和S₇；
（2）若{a_n}是等比數列，令bn=

a2n

3

，求數列{b_n}的通項公式；
（3）對于（1）中的{a_n}與（2）中的{b_n}，令c_n=（a_n+7）b_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據題意：a₂+a₆=10=a₁+a₇，由此得S7=

7(a1+a7)

2

的值．
（2）根據題意：a₂+a₆=10，a₃•a₅=16=a₂+a₆，解得a₂=2，a₆=8，求出它的通項公式 an=a2qn-2=(

2

)n，由bn=

a2n

3

，求數列{b_n}的通項公式．
（3）對于（1）中的{a_n}，a_n=3n-7，再由（2）得 bn=

2n

3

，故 c_n=n•2ⁿ，用錯位相減法求數列{a_n} 的前n項和 T_n 的值．

解答：解：（1）根據題意：a₂+a₆=10=a₁+a₇，由此得S7=

7(a1+a7)

2

=35．…（4分）
（2）根據題意：a₂+a₆=10，a₃•a₅=16=a₂+a₆，知：a₂，a₆是方程x²-10x+16=0的兩根，
且a₂＜a₆，解得a₂=2，a₆=8，故得其公比為q=

4	a6 a2

=

2

，
故an=a2qn-2=(

2

)n，bn=

2n

3

．…（4分）
（3）對于（1）中的{a_n}，由a₃ +a₅=a₂+a₆=10，a₃•a₅=16，
可得a₃ =2，a₅=8，設公差為d，則 8=2+2d，d=3，故 a₁ =-4．
得a_n=-4+（n-1）×3=3n-7，再由（2）得 bn=

2n

3

，故 c_n=n•2ⁿ，…（11分）
用錯位相減法求數列{a_n} 的前n項和 T_n ．
T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．…（13分）

點評：本題主要考查等差數列的定義和性質，等差數列的通項公式，等比數列的定義和性質，等比數列的通項公式，用錯位相減法求數列前n項和，屬于中檔題．