Question

已知向量

OP

=(2cosx+1，cos2x-sinx+1)，

OQ

=(cosx，-1)，定義f(x)=

OP

•

OQ

．
（1）求函數f（x）的單調遞減區間；
（2）求函數f（x）的最大值及取得最大值時的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積，求出f（x）的表達式，然后化簡為一個角的一個三角函數的形式，結合正弦函數的單調性，求出函數f（x）的單調遞減區間；
（2）結合（1）利用正弦函數的有界性，求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的集合．

解答：解：（1）f（x）=

OP

•

OQ

=（2cosx+1，cos2x-sinx+1）•（cosx，-1）=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1…（2分）
=cos+sinx…（4分）
=

2

sin(x+

π

4

)…（6分）
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

．
所以，函數f(x)的單調遞減區間為[2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．…（9分）
（2）函數f（x）的最大值是

2

，此時x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

4

．
所以，函數f（x）取得最大值

2

時的x的取值集合為{x|x=2kπ+

π

4

，k∈Z}．…（12分）

點評：本題考查平面向量的數量積，三角函數的單調性，三角函數的最值，考查學生計算能力，是中檔題．