Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，BC=2，PA= ，E為BC的中點．
（1）證明：PE⊥ED；
（2）求二面角E﹣PD﹣A的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

在△ABC中，∵AB=1，BC=2，AB⊥AC，

∴cosB= ， B=60°，又E為BC的中點，

∴△ABE為正三角形，則AE=1，

在△AED中，∵AE=1，AD=2，∠EAD=60°，

∴ ，

∴AE2+ED2=AD2，則AE⊥ED．

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥ED，

∵PA∩AE=A，∴ED⊥平面PAE，則PE⊥ED；

（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，

過E作EG⊥AD，垂足為G，則EG⊥平面PAD，∴EG⊥PD，

過G作GH⊥PD，垂足為H，連接EH，

∴PD⊥平面EGH，則PD⊥EH．

則∠EHG為二面角E﹣PD﹣A的平面角．

在Rt△AED中，由AE=1，AD=2，ED= ，可得EG= ，

∴GD= ，

由△PAD∽△GHD，可得 ，即GH= = ．

∴tan ，即∠EHG=60°．

∴二面角E﹣PD﹣A的大小為60°

【解析】（1）在△ABC中，由題意可得△ABE為正三角形，則AE=1，在△AED中，求解三角形可得AE⊥ED．然后利用線面垂直的判定可得ED⊥平面PAE，從而得到PE⊥ED；（2）由PA⊥平面ABCD，得平面PAD⊥平面ABCD，然后找出二面角E﹣PD﹣A的平面角．求解三角形可得二面角E﹣PD﹣A的大小．
【考點精析】通過靈活運用空間中直線與直線之間的位置關系，掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點即可以解答此題．