Question

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1＜0”．
②已知函數f（x）=k•cosx的圖象經過點P（

π

3

，1），則函數圖象上過點P的切線斜率等于-

3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數f(x)=(

1

2

)x-x

1

3

在區間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量

a

=(1，-2)與向量

b

=(1，m)的夾角為銳角，那么實數m的取值范圍是（-∞，

1

2

）
其中正確命題的序號是

②③④

．

Answer 1

分析：根據全稱、特稱命題的否定方法，可判斷①的真假；
根據已知求出k值，進而求出導數解析式，代入點的橫坐標，可判斷②的真假；
根據直線垂直的充要條件，可斜率積為-1，可判斷③的真假；
根據零點存在定理可得④的真假
根據m=-2時兩向量同向，夾角為0，可判斷⑤的真假

解答：解：①錯，命題“?x∈R，x²+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x²+x+1≤0”．
②中k•cos

π

3

=1，∴k=2，∴f（x）=2cosx，∴f'（x）=-2sinx斜率f′(

π

3

)=-2sin

π

3

=-

3

正確
③正確，a=1時，直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直成立，直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直時，斜率積為-1，則
a=1④中f（0）=1＞0，f(1)=

1

2

-1＜0∴有零點，正確
⑤錯，m≠-2，當m=-2時兩向量同向
故答案為：②③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，熟練掌握相關的基本概念是關鍵．