Question

下面有四個命題：
（1）函數y=sin(

2

3

x+

π

2

)是偶函數；
（2）函數f（x）=|2cos²x-1|的最小正周期是π；
（3）函數f(x)=sin(x+

π

4

)在[-

π

2

，

π

2

]上是增函數；
（4）函數f（x）=asinx-bcosx的圖象的一條對稱軸為直線x=

π

4

，則a+b=0．
其中正確命題的序號是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：（1）：因為y=cos

2

3

x，并且函數的定義域為R，所以函數是偶函數．（2）：因為f（x）=|cos2x|，所以函數的最小正周期為

π

2

．（3）：因為函數f(x)=sin(x+

π

4

)的單調增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]．（4）因為f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x），根據兩角和與差的正弦余弦公式可得（a+b）sinx=0，所以a+b=0．

解答：解：（1）：由題意可得：y=sin(

2

3

x+

π

2

)=cos

2

3

x，又因為函數的定義域為R，所以函數是偶函數．所以（1）正確．
（2）：因為f（x）=|2cos²x-1|=|cos2x|，所以函數的最小正周期為

π

2

．所以（2）錯誤．
（3）：因為函數f(x)=sin(x+

π

4

)的單調增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，所以（3）錯誤．
（4）由題意可得：f（

π

4

+x）=f（

π

4

-x） 對任意x∈R恒成立，即可得2acos

π

4

sinx=-2bsin

π

4

sinx 對任意x∈R恒成立，即（a+b）sinx=0 對任意x∈R恒成立，所以a+b=0，所以（4）正確．
故答案為（1）（4）．

點評：本題主要考查三角函數的性質，如單調性，周期性，奇偶性以及對稱性，此題屬于中檔題型，考查計算能力，轉化思想的應用．